Congruences et opérations

Propriété

Soit $a,a^{\prime },b,b^{\prime }\in \mathbb{Z}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

• Si $a\equiv b[n]$ et $a^{\prime }\equiv b^{\prime }[n]$ , alors $a+a^{\prime }\equiv b+b^{\prime }[n]$ .
  
• Si $a\equiv b[n]$ et $a^{\prime }\equiv b^{\prime }[n]$ , alors $a{a}^{\prime }\equiv b{b}^{\prime }[n]$ .
• Si $a\equiv b[n]$ , alors pour tout $k\in \mathbb{N}$ , $a^k\equiv b^k[n]$ .
  

Exemples

• Si $x\equiv 2[7]$ et $y\equiv 6[7]$ , alors $x+y\equiv 8\equiv 1[7]$ .
  
• Si $x\equiv 2[7]$ et $y\equiv 6[7]$ , alors $xy\equiv 12\equiv 5[7]$ .
  
• Si $x\equiv 2[7]$ , alors $x^2\equiv 4[7]$ et $x^3\equiv 8\equiv 1[7]$ .
  

Démonstration

Dans toute la démonstration, on suppose que $a\equiv b[n]$ et $a^{\prime }\equiv b^{\prime }[n]$ .
Ainsi, il existe $k,k^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tels que $a-b=kn$ et $a^{\prime }-b^{\prime }=k^{\prime }n$ .

• On a :
  $\begin{array}{rl}(a+a^{\prime })-(b+b^{\prime })& =a-b+a^{\prime }-b^{\prime }\\ & =kn+k^{\prime }n\\ & =(k+k^{\prime })n\\ & =k^{″}n\end{array}$
  avec  $k^{″}=k+k^{\prime }\in \mathbb{Z}$  .
  Ainsi,  $(a+a^{\prime })-(b+b^{\prime })$  est un multiple de  $n$  et donc  $a+a^{\prime }\equiv b+b^{\prime }[n]$ .
• On a :
  $\begin{array}{rl}a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }& =a{a}^{\prime }-b{a}^{\prime }+b{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }\\ & =(a-b)a^{\prime }+b(a^{\prime }-b^{\prime })\\ & =kn{a}^{\prime }+b{k}^{\prime }n\\ & =(k{a}^{\prime }+b{k}^{\prime })n\\ & =k^{″}n\end{array}$
  avec $k^{″}=k{a}^{\prime }+b{k}^{\prime }\in \mathbb{Z}$ .
  Ainsi, $a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }$ est un multiple de $n$ et donc $a{a}^{\prime }\equiv b{b}^{\prime }[n]$ .
• Montrons par récurrence que, pour tout $k\in \mathbb{N}$ , $a^k\equiv b^k[n]$ .
  Initialisation 
  Pour $k=0$ , on a $a^0=b^0=1$ et donc $1\equiv 1[n]$ .
  Hérédité 
  Soit $k\in \mathbb{N}$ tel que $a^k\equiv b^k[n]$ .
  Comme $a\equiv b[n]$ et $a^k\equiv b^k[n]$ , en utilisant la propriété du produit :
  $a\times a^k\equiv b\times b^k[n]$  c'est-à-dire $a^{k+1}\equiv b^{k+1}[n]$ .
  Conclusion 
  Pour tout $k\in \mathbb{N}$ , $a^k\equiv b^k[n]$ .